Aine eesmärk on:
- tutvuda funktsionaalanalüüsi põhimõistetega;
- vaadelda üksikasjalikumalt meetriliste ruumide, normeeritud ruumide ja skalaarkorrutistega ruumide omadusi;
- uurida operaatoreid nendes ruumides;
- omandada teadmisi peamistest numbrilistest meetoditest osatuletistega diferentsiaalvõrrandite (ODV) lahendamisel ja nende meetodite täpsusest ja koonduvusest;
- harjutada üliõpilasi matemaatilise mõtlemise ja sümboolikaga.

The aim of this cours eis to:
- become acquainted with main notions of functional analysis;
- consider in detail the properties of metric spaces, normed spaces and spaces with inner products;
- study operators in these spaces;
- obtain a knowledge about main numerical methods to solve partial differential equations (PDE) and accuracy and convergence of these methods;
- train students in mathematical thinking and symbolism.

Õppeaine läbinud üliõpilane:
- selgitab funktsionaalanalüüsi põhimõisteid: ruumid, mormid, skalaarkorrutised;
- kirjeldab erinevate ruumide vahelisi seoseid ja operaatori omaduste omavahelisi seoseid;
- kasutab diferentsmeetodit elliptilist tüüpi võrrandite jaoks;
- kasutab üldistatud ülesande mõistet ja peamisi projektsioonimeetodeid: kollokatsioonimeetodit, Galjorkini meetod, vähimruutude meetod ning lõplike elementide meetodit;
- kasutab ilmutatud ja ilmutamata diferentsskeeme ning Cranck-Nicolsoni skeemi praboolset tüüpi võrrandite jaoks ning nende skeemide stabiilsust;
- kasutab Lax-Wendroffi skeemi ja ilmutatud diferentsskeemi hüperboolset tüüpi võrrandite jaoks;
- analüüsib numbriliste meetodite täpsust ja koonduvust.

After completing this course, the student:
- explains main concepts of functional analysis: spaces, norms inner products;
- describes the relations between different spaces, and the relations between the properties of the operator;
- uses the method of finite differences for elliptic equations;
- uses the concept of generalized solution and main projection methods: collocation, Galerkin, least squares methods and the method of finite elements;
- uses explicit and implicit difference schemes and Cranck-Nicolson scheme for parabolic equations and stability of these schemes;
- uses Lax-Wendroff scheme and the explicit difference scheme for hyperbolic equations;
- analyses accuracy and convergence of numerical methods.

1. Meetrilised ruumid. Täielik meetriline ruum. Banachi püsipunkti teoreem. Kompaktsus. Lineaarsed ruumid. Normeeritud ruum, Hilberti ruum. Ortogonaalsed süsteemid. Operaatorid normeeritud ruumis. Lineaarsed tõkestatud operaatorid. Operaatori norm. Pidevate operaatorite ruum. Banach-Steinhausi teoreem. Pöördoperaator. Operaatorite diferentsiaalarvutus. Operaatori tugev ja nõrk diferentsiaal.
2. Diferentsmeetod ja projektsioonimeetodid elliptilist tüüpi võrrandite rajaülesannete lahendamisel. Lõplike elementide meetod. Diferentsmeetod paraboolset ja hüperboolset tüüpi võrrandite segaülesannete jaoks. Ilmutatud ja ilmutamata diferentsskeemid. Meetodite täpsus ja koonduvus.

1. Metric spaces. Complete metric space. The Banach fixed-point theorem. Compactness. Linear space. Normed space. Hilbert space. Orthogonal systems. Operators in normed spaces. Linear bounded operators. The norm of an operator. The space of continous operators. The Banach-Steinhaus theorem. The inverse operator. Differential calculus of operators. Strong and weak differentials of the operator.
2. Problems posed for PDE. Method of finite differences and projection methods for boundary value problems for equations of elliptic type. Method of finite elements. Method of finite differences for initial-boundary value problems for equations of parabolic and hyperbolic types. Explicit and implicit difference schemes. Accuracy and convergence of the methods.

Aine koosneb kahest osast: funktsionaalanalüüs ja ligikaudsed arvutusmeetodid. Mõlemat aineosa hinnatakse eraldi. Lõpphinne kujuneb kahe aineosa hinnete keskmisena.

The course consists of two parts: functional analysis and numerical methods. Both parts are assessed separately. Final grade is computed as an average of grades of these two parts.

-

-

S. G. Krantz. A Guide to Functional Analysis. MAA, 2013.
V. Ruas, Numerical methods for partial differential equations. Wiley, 2016

-